Liczby wymierne część I - ułamki zwykłe

Ułamki zwykłe.

1. Definicja ułamka

2. Ułamek jako część całości

3. Rozszerzanie i skracanie ułamków

4. Zamiana liczby mieszanej na ułamek zwykły i odwrotnie

5. Porównywanie ułamków

6. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

7. Ułamki zwykłe na osi liczbowej

8. Działania na ułamkach zwykłych

Związki pomiędzy zbiorami liczb naturalnych i całkowitych oraz wymiernych.

 

Liczbą nazywamy wymierną jeśli można ją przedstawić w postaci ułamka zwykłego ,gdzie a jest liczbą całkowitą, a b jest liczbą naturalna różną od zera.

Ułamki zwykłe

1. Definicja ułamka

Każdy ułamek zwykły składa się z elementów: licznika, mianownika i kreski ułamkowej.
Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

- ułamek właściwy – ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika

np.

- ułamek niewłaściwy – ułamek, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi

np.

- liczba mieszana – składa się z części całkowitej i ułamka właściwego.

np.

2. Ułamek jako część całości

 

Czekolada składa się z 10 kostek. Zostało zjedzone 7 kostek. Zapisujemy tą informację w postaci ułamka.

10 kostek zapisujemy w mianowniku, 7 kostek w liczniku

Otrzymujemy:

Koło podzielono na 8 części, 3 zostały zamalowane. Zapisujemy tą informację w postaci ułamka.

8 części zapisujemy w mianowniku, 3 części w liczniku.

Otrzymujemy:

 

Pod każdym prostokątem zapisano jaka część została zamalowana.

3. Rozszerzanie i skracanie ułamków

- Aby rozszerzyć ułamek należy licznik i mianownik ułamka pomnożyć przez tą samą liczbę.

np.

- Aby skrócić ułamek należy licznik i mianownik ułamka podzielić przez tą samą liczbę.

np.

 

4. Zamiana liczby mieszanej na ułamek zwykły i odwrotnie

- Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, należy mianownik pomnożyć przez liczbę całości i dodać licznik, wynik zapisać w liczniku, a mianownik pozostawić bez zmian.

np. 

 

Zamieniając liczbę mieszaną na ułamek otrzymujemy ułamek niewłaściwy.

- Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną należy licznik podzielić przez mianownik. Otrzymana całość z dzielenia będzie całością liczby mieszanej, a resztę z dzielenia wpisujemy w liczniku, a mianownik pozostaje bez zmian.

np. otrzymujemy

5. Porównywanie ułamków

a) porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach

Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach ten jest większy, który ma większy licznik.

np.

 

b) porównywanie ułamków o jednakowych licznikach

Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

np.

 

6. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika polega na rozszerzaniu ułamków.

Ułamki i  sprowadź do wspólnego mianownika

Ułamek rozszerzamy mnożąc licznik i mianownik przez mianownik drugiego ułamka

 

Ułamek rozszerzamy mnożąc przez licznik i mianownik przez mianownik pierwszego ułamka

 

7. Ułamki zwykłe na osi liczbowej

Tak samo jak liczby naturalne czy całkowite ułamki zwykłe możemy przedstawić na osi liczbowej.

Przykład 1:

Na osi liczbowej zaznaczono ułamki: -

Odcinek jednostkowy został podzielony na trzy części.

Przykład 2:

Zaznacz na osi liczbowej ułamki:

Aby zaznaczyć ułamek  musimy rozszerzyć ułamek do mianownika 8: . Teraz odcinek jednostkowy dzielimy na osiem części i zaznaczamy podane ułamki.

8. Działania na ułamkach zwykłych

a) dodawanie i odejmowanie ułamków

Aby dodać (odjąć) ułamki o różnych mianownikach należy ułamki sprowadzić do wspólnego mianownikach.

Przykład: dodaj ułamki

I. Sposób

Szukamy wspólnego mianownika

Szukamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 5 i 3

Liczba 5 i jej wielokrotności; 5, 10, 15, 20

Liczba 3 i jej wielokrotności; 3, 6, 9, 12, 15, 18

NWW (5, 3) = 15

Ułamek  rozszerzamy do mianownika 15; 15 : 5 = 3; licznik mnożymy przez 3: 3 · 1 = 3 otrzymujemy ułamek

Ułamek rozszerzamy do mianownika 15; 15 : 3 = 5; licznik mnożymy przez 5; 5 · 2 = 10

otrzymujemy ułamek

Ostatecznie otrzymujemy:

 

II. Sposób

 

Mnożymy mianowniki przez siebie: 5 · 3 = 15

Mnożymy mianownik drugiego ułamka przez licznik pierwszego ułamka: 3 · 1 = 3 mamy:

Mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka: 5 ·2 = 10 mamy:

otrzymujemy: 

 

Tak samo postępujemy przy odejmowaniu ułamków.

b) mnożenie ułamków

Aby pomnożyć dwa ułamki mnożymy licznik przez licznik (wynik zapisujemy w liczniku), a mianownik przez mianownik (wynik zapisujemy w mianowniku).

Przykład:

c) dzielenie ułamków

Aby podzielić dwa ułamki, mnożymy pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego ułamka